Арифметическая средняя

Арифметическая средняя - средняя из нескольких величин получается разделением суммы этих величин на их число.

Дмитрий Берг

Прочтёте за 3 мин.

Арифметическая средняя

Арифметическая средняя из нескольких величин получается разделением суммы этих величин на их число. Так, арифметическая средняя из a1, a2,…an есть a = (a1+a2+…+аn). Главные свойства арифметическая средней содержатся в следующих двух положениях: 1. Сумма уклонений всех данных от их арифметической средней равна нулю: так, из написанной формулы очевидно следует: (a1—a) + (a2—a) +…+ (an—а) = 0, что и требовалось доказать. 2. Сумма квадратов уклонений отдельных данных от арифметической средней имеет наименьшую величину, т. е. (a1—a)2 + (a2—a)2 +…+ (an—a)2 = minimum, так как если вместо а мы возьмем a±h, то получим для новой суммы квадратов уклонений ∑(аi—а+h)2 = ∑(аi—a)2 ± 2h∑(ai—a) + nh2, a так как ∑(ai—a) = 0, то эта сумма = ∑(аi—a)2 + nh2, что очевидно больше ∑(ai—a)2, что и требовалось доказать.

Арифметическая средняя имеет обширное применение и громадное значение во всех научных измерениях или счислениях. Если произведен ряд наблюдений над величиною какого-нибудь объекта и для этой величины найдены различные значения а1, а2… an, то вероятнейшее значение измеренной величины есть а — арифмет. средняя из отдельных наблюдений. Это имеет место в том случае, когда измерения а1 одинаково точны и достоверны, т.е. равновески. Если же точность этих измерений не одинакова, если, напр., результат a1 получен из p1 отдельных наблюдений, результат а2 из р2 таких же наблюдений, результат а из рn таких же наблюдений, то вместо простой арифметической средней должно взять величину а = (p1a1 + p2a2 +…+ pnan)/(p1 + p2 +…+ pn), короче ∑piai:∑pi.

Должно различать два рода арифметическая средних; в одном случае средняя выражает вероятнейшую величину какого-нибудь объекта измерения, напр. вероятнейший рост человека, измеренного несколько раз. В другом случае арифметическая средняя есть фиктивная величина, изображающая средний тип группы различных предметов, напр. средний рост большого числа людей. Иногда различают еще третий вид средних, который получается в некоторых исследованиях как точный результат из двух чисел, в которых в одном случае некоторая посторонняя причина действовала в одном направлении, в другом случае, с такою же силою, в противоположном; напр. в астрономических наблюдениях кульминационная ошибка при двух противоположных положениях трубы или при выводе широты места из наблюдений двух звезд в нижней и верхней кульминации их.

Принцип арифметической средней при выводе вероятнейшего результата, вероятно, применялся, более или менее случайным образом, уже в древности; изречение αριστον μέτρον, вероятно, прилагалось не только к философским теориям. Однако до Лежандра и в особенности Гаусса, т.е. до XIX-го столетия, не существовало теории ошибок и систематических способов вычисления результатов наблюдений, а понятие средней как типа было впервые прочно установлено в науке трудами Кетле, в середине настоящего столетия. Арифметическая средняя и приложение ее к выводу вероятнейшего результата из ряда несогласных наблюдений породила целую литературу, до сих пор еще не сказавшую последнего слова о пределах применимости этого способа. Скиапарелли показал, что арифметическая средняя есть единственная функция системы чисел, обладающая следующими двумя свойствами: 1. она не изменяется от изменения единиц, в которых выражены эти числа, т. е. аналитически: если все данные числа увеличить в m. раз, то и средняя увеличится в m. раз, и 2. она не изменяется от перемещения точки нуля, от которой отсчитываются данные числа, т. е. если ко всем данным числам прибавить некоторое число h, то и к средней прибавится то же число h. Арифметическая средняя может рассматриваться как основание метода наименьших квадратов или как следствие или частный случай его.

Источник: Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон. 1890—1907.